CİSİM ATÖLYESİ

Aç, kes, doldur

Cisimleri açınımına aç, bir düzlemle kes, birim küplerle doldur, ölçeği büyüt.

Yüz

Vurgula ve say ↓

Ayrıt

Vurgula ve say ↓

Köşe

Vurgula ve say ↓

Y − A + K

Mod

Cisim · Küp

Vurgula ve say

Görünüm

Euler tablosu

Cisim	Y	A	K	Y−A+K
Bir çokyüzlünün yüz, ayrıt ve köşelerini say; satır burada belirir.

Sahne hazırlanıyor…

Kavramlar

Yüz, ayrıt, köşe

Yüz cismi saran düz bir yüzeydir. Ayrıt iki yüzün birleştiği doğru parçasıdır. Köşe en az üç ayrıtın buluştuğu noktadır.

Sayarken cismi döndür: arkada kalan yüzleri unutmak ya da iki kez saymak en sık yapılan hatadır.

Euler formülü

Her (boşluksuz) çokyüzlüde yüz sayısından ayrıt sayısı çıkarılıp köşe sayısı eklenince hep 2 bulunur. Küp:

6 - 12 + 8 = 2

. Altıgen prizma:

8 - 18 + 12 = 2

. İki sayıyı biliyorsan üçüncüyü bulabilirsin.

Y - A + K = 2

Prizma mı, piramit mi?

Prizma: birbirine eş ve paralel iki taban, aralarında dikdörtgen yan yüzler. Taban

n

-gen ise

n + 2

yüz,

3n

ayrıt,

2n

köşe.

Piramit: tek taban, bir tepe noktasında buluşan üçgen yan yüzler.

n + 1

yüz,

2n

ayrıt,

n + 1

köşe. Düzgün dörtyüzlü, dört eşkenar üçgenden oluşan üçgen piramittir.

Yuvarlak cisimler çokyüzlü değildir

Silindirin 2 düz daire yüzü ve 1 eğri yüzeyi; koninin 1 düz yüzü, 1 eğri yüzeyi ve 1 tepe noktası; kürenin yalnızca 1 eğri yüzeyi vardır. Kenarlardaki çemberler eğridir, düz ayrıt değildir.

Kitaplar bu konuda farklı sayar: bazıları çemberleri 'eğri ayrıt' (silindirde 2, konide 1), koninin tepe noktasını da köşe sayar; bazıları bu cisimlerde ayrıt ve köşe saymaz. Bu laboratuvar eğri ayrıtları ve tepe noktasını ayrıca gösterir. Hangi sayım seçilirse seçilsin bunlar çokyüzlü değildir; Euler formülü onlar için kullanılmaz.

Açınım nedir?

Bir cismi ayrıtları boyunca kesip düz bir yüzeye açtığında elde ettiğin şekle açınım denir. Ters yönde katlarsan cisim yeniden oluşur.

Küpün 11 farklı açınımı vardır. Kural: karşılıklı yüzler açınımda hiç değmez; dörtlü bir sıra küpün etrafını sarar ve sıranın iki yanına birer kare (kapaklar) gelir.

Silindir ve koni açınımı

Silindirin yan yüzü açılınca bir dikdörtgen olur: bir kenarı yükseklik

h

, diğeri taban çevresi

2\pi r

(bir konserve etiketini düşün).

Koninin yan yüzü bir daire dilimidir: yarıçapı ana doğru

\ell

, yay uzunluğu taban çevresi

2\pi r

. Dilimin açısı

360^\circ \cdot \dfrac{r}{\ell}

2\pi r \times h \qquad \theta = 360^\circ\cdot\dfrac{r}{\ell}

Yüzey alanı = açınımın alanı

Bir cismin yüzey alanı, açınımındaki tüm parçaların alanlarının toplamıdır. Eş yüzleri gruplamak hesabı kısaltır: dikdörtgenler prizmasında üç çift eş dikdörtgen vardır. Birim cm²'dir.

S = 2(lw + lh + wh)

Yan yüz yüksekliği

Piramidin üçgen yüzlerinin yüksekliği, piramidin yüksekliği

h

değil yan yüz yüksekliği

\ell

'dir. Tepeden taban kenarının ortasına inen bu uzunluk bir dik üçgenin hipotenüsüdür. Koninin ana doğrusu da aynı yolla bulunur:

\ell = \sqrt{h^2 + r^2}

\ell = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2}, \quad S = a^2 + 2a\ell

Silindir, koni, küre yüzey alanı

Silindir: iki daire + bir dikdörtgen. Koni: bir daire + bir daire dilimi (

\pi r \ell

). Küre: tam olarak aynı yarıçaplı 4 büyük dairenin alanı kadar; bir portakal kabuğu 4 daireyi doldurur.

S_{\text{silindir}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h

S_{\text{koni}} = \pi r^2 + \pi r\ell

S_{\text{küre}} = 4\pi r^2

Hacim = taban alanı × yükseklik

Hacim, bir cismin içine kaç tane 1 cm³'lük birim küp sığdığıdır. Bir prizmayı katman katman doldur: bir katmanda taban alanı

B

kadar küp vardır ve

h

katman üst üste gelir. Bu kural her prizma ve silindir için geçerlidir.

V = B \cdot h

Koni = silindirin üçte biri

Aynı taban ve yükseklikteki bir koni dolusu su, silindiri ancak üçte bir doldurur; üç koni gerekir. Piramit ile prizma arasında da aynı ilişki vardır. Sivri cisimler yukarı doğru hızla inceldiği için 'yarısı' tahmini fazla büyüktür.

V_{\text{koni}} = \tfrac13 \pi r^2 h, \quad V_{\text{piramit}} = \tfrac13 B h

Küre = silindirin üçte ikisi

Bir küreyi tam saran silindirin yarıçapı

r

, yüksekliği ise kürenin çapı kadardır:

2r

. Küre dolusu su bu silindirin üçte ikisini doldurur (Arşimet bu buluşunu mezar taşına kazıtmıştır).

V = \tfrac23 \cdot \pi r^2 (2r) = \tfrac43 \pi r^3

Kesit nedir?

Bir cismi düz bir düzlemle kestiğinde kesimde oluşan yüze kesit denir. Kesitin her kenarı cismin bir yüzünün üzerindedir; bu yüzden kesitin kenar sayısı, düzlemin kestiği yüz sayısı kadardır. Tabana paralel kesitler tabanın şeklini alır.

Küpün kesitleri: 3'ten 6'ya

Küpün 6 yüzü olduğu için bir kesit en çok 6 kenarlı olabilir. Bir yüze paralel kesim kare, bir ayrıta paralel eğik kesim dikdörtgen, bir köşeyi kesen eğik düzlem üçgen, başka eğik kesimler yamuk gibi dörtgenler ya da beşgen verir. Uzay köşegenine dik ve merkezden geçen kesim ise düzgün altıgendir.

Koniyi kesmek: daire, elips, parabol, hiperbol

Yatay kesim daire, biraz eğik kesim elips verir. Düzlem koninin yan yüzüne paralel olunca parabol, daha dik olunca hiperbol parçası oluşur. Tepe noktasından geçen dik kesim ise bir ikizkenar üçgendir. Bu eğrilere 'konik kesitler' denir.

Ölçek: k, k², k³

Bir cismin tüm uzunluklarını

k

ile çarparsan: her uzunluk

k

, her alan

k^2

(

k \times k

kare), hacim

k^3

(

k \times k \times k

küp) katına çıkar. Ayrıtı 2 katına çıkan küpe 8 tane eski küp sığar ama yüzeyi yalnızca 4 kat büyür.

L' = kL, \quad S' = k^2 S, \quad V' = k^3 V

cm, cm², cm³

Uzunluk cm (bir çizgi), alan cm² (1 cm × 1 cm kareler), hacim cm³ (1 cm × 1 cm × 1 cm küpler). Üssü, kaç boyutun çarpıldığını gösterir.

Beceriler ve müfredat

Yüz, ayrıt ve köşe

3–8. sınıf

Prizma, piramit, silindir, koni ve küreyi tanır; yüz, ayrıt ve köşelerini sayar (Euler: Y − A + K = 2).

Başlanmadı

MEB 3. sınıf · Nesnelerin Geometrisi (1) · MAT.3.3.1MEB 8. sınıf · Geometrik Cisimler · M.8.3.4.1, M.8.3.4.2, M.8.3.4.5, M.8.3.4.6CCSS 6.G.A.4

Açınımlar

4–8. sınıf

Bir cismin açınımını ve hangi açınımın hangi cisme katlandığını belirler.

Başlanmadı

MEB 4. sınıf · Geometrik Cisimler ve Şekiller · M.4.2.1.4MEB 7. sınıf · Geometrik Nicelikler (1) · MAT.7.4.2MEB 8. sınıf · Geometrik Cisimler · M.8.3.4.1, M.8.3.4.2, M.8.3.4.5, M.8.3.4.6CCSS 6.G.A.4

Yüzey alanı

6–8. sınıf

Açınımdaki yüzlerin alanlarını toplayarak prizma, piramit ve silindirin yüzey alanını hesaplar.

Başlanmadı

MEB 7. sınıf · Geometrik Nicelikler (1) · MAT.7.4.2, MAT.7.4.6MEB 8. sınıf · Geometrik Cisimler · M.8.3.4.3CCSS 6.G.A.4CCSS 7.G.B.6

Prizmaların hacmi

5–7. sınıf

Hacmi birim küplerle doldurma olarak anlar; V = taban alanı × yükseklik bağıntısını kullanır.

Başlanmadı

MEB 7. sınıf · Geometrik Nicelikler (1) · MAT.7.4.3, MAT.7.4.4, MAT.7.4.6CCSS 5.MD.C.5CCSS 6.G.A.2CCSS 7.G.B.6

Silindir, koni ve kürenin hacmi

8–12. sınıf

Silindir, koni ve küre hacim bağıntılarını ve koni = silindirin 1/3'ü ilişkisini kullanır.

Başlanmadı

MEB 8. sınıf · Geometrik Cisimler · M.8.3.4.4MEB 12. sınıf · Geometrik Cisimler · MAT.12.3.2, MAT.12.3.3CCSS 8.G.C.9CCSS HSG-GMD.A.3

Kesitler

7–10. sınıf

Bir cismin bir düzlemle kesildiğinde oluşan kesitin şeklini öngörür.

Başlanmadı

CCSS 7.G.A.3CCSS HSG-GMD.B.4

Ölçeklemenin alan ve hacme etkisi

7–10. sınıf

Ayrıtlar k katına çıkınca alanın k², hacmin k³ katına çıktığını açıklar.

Başlanmadı

MEB 10. sınıf · Geometrik Şekiller · MAT.10.1.3CCSS 7.G.A.1

Görev 1/21Kur0/21 ✓

Küpü say

Küpün yüzlerini, ayrıtlarını ve köşelerini say: alttaki düğmelerle her birini sırayla vurgula ve sayım bitene kadar izle.

Simülasyonda dene — hedefe ulaştığında görev kendiliğinden tamamlanır.

Aç, kes, doldur

Kavramlar

Beceriler ve müfredat

Küpü say

Tüm görevler

Nasıl çalışır: Aç, kes, doldur

Klavye ve fare