Görev 1/24Kur0/24 ✓
Bir sağa, iki yukarı
Eğimi yap. Eğim üçgenini izle: sağa 1 birim gidince doğru kaç birim yükseliyor?
Simülasyonda dene — hedefe ulaştığında görev kendiliğinden tamamlanır.
Eğim
1
m = Δy / Δx ↗
y-kesen
1
n · (0; 1)
x-kesen
−1
(−1; 0)
Eğim açısı
45°
α · m = tan α
Denklem
y=x+1
y=mx+n · m = 1; n = 1
Değer tablosu
| x | y | Δy |
|---|---|---|
| −2 | −1 | |
| −1 | 0 | +1 |
| 0 | 1 | +1 |
| 1 | 2 | +1 |
| 2 | 3 | +1 |
Sabit fark: Δy = m = 1
Sahne hazırlanıyor…
Kavramlar
Eğim: değişim oranı
Eğim, x bir birim arttığında y'nin ne kadar değiştiğini söyler. Doğru üzerindeki herhangi iki noktadan hesaplanır ve doğrunun her yerinde aynıdır — eğim üçgeni izleyici noktayla birlikte kayar ama oranı değişmez.
m=ΔxΔy=x2−x1y2−y1
Eğim–kesen biçimi
y=mx+n m dikliği ve yönü, n ise doğrunun y-eksenini kestiği yüksekliği (y-kesen) belirler. n'yi değiştirmek doğruyu döndürmez; onu yukarı-aşağı paralel kaydırır.
Eğim açısı
Doğrunun x-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı α ise m=tanα. m=1⇒45∘, m=0⇒ yatay, m<0⇒ geniş açı. Açı ile eğim orantılı değildir: m=2 için α≈63,4∘.
m=tanα,0∘≤α<180∘
Eksenleri kestiği noktalar
y-ekseninde x=0, bu yüzden kesişim (0,n). x-ekseninde y=0: 0=mx+n⇒x=−mn. m=0 ve n=0 ise doğru x-eksenine paraleldir ve onu hiç kesmez.
Değer tablosundaki desen
Değer tablosunda x birer birer artarsa doğruda ardışık farklar (Δy) hep eğime, yani m'ye eşittir. Parabolde birinci farklar değişir ama ikinci farklar (Δ2y) sabittir ve 2a'ya eşittir. Geniş ekranda bu tablo sağ üstte canlı olarak güncellenir.
Δ2y=2a
Parabolün iki yazılışı
Standart biçim y=ax2+bx+c, y-keseni (c) hemen gösterir. Tepe noktası biçimi y=a(x−r)2+k, tepe noktasını T(r,k) hemen gösterir. a>0 ise kollar yukarı, a<0 ise aşağı; ∣a∣ büyüdükçe parabol daralır. r=−2ab,k=f(r)=c−4ab2
Simetri ekseni
Parabol, tepe noktasından geçen x=r dikey doğrusuna göre aynalıdır — tahtadaki parlayan düzlem bu aynadır. İzleyici noktanın ayna eşini izle: eksene eşit uzaklıktaki noktaların y değerleri eşittir. f(r−d)=f(r+d)
Diskriminant: kaç kök?
ax2+bx+c=0'ın kökleri, parabolün x-eksenini kestiği yerlerdir. Δ>0: iki kök. Δ=0: tek (çift katlı) kök — parabol eksene teğet. Δ<0: gerçek kök yok — parabol yine vardır, yalnızca ekseni kesmez.
Δ=b2−4ac,x1,2=2a−b±Δ
İçerisi ve dışarısı
Dışarıdaki sayılar (a, k) y'ye etki eder: k yukarı-aşağı kaydırır, a dikeyde uzatır. İçerideki sayılar (b, h) x'e etki eder ve ters çalışır: (x−3) grafiği sağa kaydırır, b=2 yatayda sıkıştırır.
g(x)=af(b(x−h))+k
Yansımalar ve anahtar noktalar
a<0: grafik x-eksenine göre ayna görüntüsüne döner (aşağı kaymaz!). b<0: y-eksenine göre ayna görüntüsü. Her anahtar nokta tek bir kuralla taşınır — tahtadaki kesikli oklar bu yolculuğu gösterir.
(x,y)↦(h+bx,ay+k)
Birim çember
Yarıçapı 1 olan çemberde θ açısıyla dönen noktanın koordinatları P(cosθ,sinθ)'dır. Mavi yatay kenar cosθ, turuncu dikey kenar sinθ'dır. Pisagor teoreminden her zaman:
cos2θ+sin2θ=1
Radyan: yay uzunluğu
Birim çemberde θ radyanlık açı, uzunluğu tam θ olan yayı keser. Çevre 2π olduğundan 360∘=2π ve 180∘=π. Yeşil yay, dalganın yatay eksenine aynı uzunlukta serilir.
θrad=θ∘⋅180∘π
Bölgelere göre işaretler
I. bölgede cos ve sin pozitif; II. bölgede cos<0<sin; III. bölgede ikisi de negatif; IV. bölgede sin<0<cos. Büyüklük, x-eksenine olan referans açıdan gelir: sin150∘=sin30∘.
sin(180∘−θ)=sinθ,cos(180∘−θ)=−cosθ
Çemberden dalgaya
Noktanın yüksekliğini (sinθ), açıyı yatay eksene sererek çizersen sinüs dalgası doğar. Nokta turu tamamlayınca dalga kendini tekrar eder: periyot 2π. Kosinüs dalgası da aynı şekildir, yalnızca 2π öndedir.
Dalganın dört düğmesi
∣A∣ genlik (orta çizgiden tepeye), T=∣B∣2π periyot, C faz kayması (pozitifse sağa), y=D orta çizgi. En büyük değer D+∣A∣, en küçük değer D−∣A∣.
y=Asin(B(x−C))+D
Faz kaymasındaki tuzak
sin(2x−2π) dalgası 2π değil, 4π sağa kaymıştır. Kaymayı okumadan önce B'yi paranteze al:
sin(Bx−φ)=sin(B(x−Bφ))
Sarmal: üç boyutta dalga
Çemberde dönen nokta aynı anda x yönünde sabit hızla ilerlerse sarmal çizer. Eksen boyunca bakınca çember, yandan bakınca sin dalgası görürsün: tahtadaki dalga sarmalın gölgesidir. Yaylar ve vida dişleri bu şekildedir. Sarmal görünümünü dene.
(x, Asinφ+D, Acosφ),φ=B(x−C)
Beceriler ve müfredat
Eğim ve değişim oranı
8–10. sınıfEğimi "x bir birim artınca y ne kadar değişir" olarak yorumlar ve iki noktadan hesaplar.
Başlanmadı
MEB 8. sınıf · Doğrusal Denklemler · M.8.2.2.6MEB 10. sınıf · Analitik İnceleme · MAT.10.6.2CCSS 8.EE.B.5CCSS 8.F.B.4
Doğrusal fonksiyonlar
8–9. sınıfy = mx + n grafiğini çizer; eğim ve y-kesenin grafiğe etkisini açıklar.
Başlanmadı
MEB 8. sınıf · Doğrusal Denklemler · M.8.2.2.4, M.8.2.2.5, M.8.2.2.6MEB 9. sınıf · Nicelikler ve Değişimler · MAT.9.2.1CCSS 8.F.A.3CCSS HSF-IF.C.7a
Parabolün özellikleri
9–10. sınıfy = ax² + bx + c için tepe noktası, simetri ekseni ve kolların yönünü belirler.
Başlanmadı
MEB 10. sınıf · Nicelikler ve Değişimler · MAT.10.4.2CCSS HSF-IF.C.7aCCSS HSF-IF.C.8a
Kökler ve diskriminant
10–11. sınıfΔ = b² − 4ac'nin işaretinden kök sayısını, grafiğin x-eksenini kesip kesmediğini çıkarır.
Başlanmadı
MEB 10. sınıf · Nicelikler ve Değişimler · MAT.10.4.2, MAT.10.4.6CCSS HSA-REI.B.4bCCSS HSA-SSE.B.3a
Grafik dönüşümleri
10–11. sınıfa·f(x − h) + k biçiminde öteleme, uzatma ve yansımanın grafiği nasıl değiştirdiğini açıklar.
Başlanmadı
MEB 10. sınıf · Nicelikler ve Değişimler · MAT.10.4.2, MAT.10.4.3, MAT.10.4.4CCSS HSF-BF.B.3
Birim çember ve sinüs/kosinüs
10–11. sınıfBirim çemberdeki noktanın koordinatlarını cos θ ve sin θ olarak yorumlar ve dalgaya dönüştürür.
Başlanmadı
MEB 10. sınıf · Geometrik Şekiller · MAT.10.1.1MEB 11. sınıf · Nicelikler ve Değişimler (1) · MAT.11.3.1CCSS HSF-TF.A.2
Genlik, periyot ve faz
11–12. sınıfy = A·sin(B(x − C)) + D'de genlik, periyot, faz kayması ve orta çizgiyi belirler.
Başlanmadı
MEB 11. sınıf · Nicelikler ve Değişimler (1) · MAT.11.3.1CCSS HSF-IF.C.7eCCSS HSF-TF.B.5